Repartido Teórico- Práctico - Circunferencia

C) Circunferencia
1.- DEFINICIÓN
(Del latín circunferentia) Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro

2.- ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
2.1 Ecuación ordinaria
Sea P(x, y) un punto sobre la circunferencia, "r" el radio y C(h, k) el centro. Entonces partiendo de su definición podemos afirmar que

Ejemplo: Si una circunferencia tiene por centro al punto C(2,4) y su radio es cinco, entonces su ecuación ordinaria es: (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25.
2.2 Ecuación canónica
Es un caso particular de la ecuación ordinaria, cuando el centro es el eje coordenado, es decir, es (0,0):
x2 + y2 = r2
2.3 Ecuación general
Para hallar la ecuación general, hay que desarrollar la ecuación ordinaria:
x2-2xh+h2+y2-2yk+k2-r2=0
x2+y2-2xh-2yk+h2+k2-r2=0
Haciendo: -2xh=D; -2yk=E; h2+k2-r2=F, se obtiene la ecuación general de la circunferencia:
x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 ; ( D 2 + E 2 – 4 F > 0 )
Centro:
Radio:
Ejemplo 1:
Ecuación ordinaria de la circunferencia: ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 = 25
Ecuación general de la circunferencia: x 2 + y 2 – 2 x – 4 y – 20 = 0

Casos particulares
1 ) D 2 + E 2 – 4 F = 0 Þ punto
2 ) D 2 + E 2 – 4 F < 0 Þ ningún lugar geométrico
3.- ECUACION DE LA TANGENTE
1 ) Dado el punto de contacto P ( x 0 , y 0 ) :
a ) Dada la ecuación ordinaria de la circunferencia, la ecuación de la tangente en el punto P ( x 0 , y 0 ) de la circunferencia, es :
( x 0 – h ) ( x – h ) + ( y 0 – k ) ( y – k ) = r 2
b ) Dada la ecuación general de la circunferencia, la ecuación general de la tangente en el punto P ( x 0 , y 0 ) de la circunferencia, es :

2 ) Dada la pendiente m de la tangente:
a ) Dada la ecuación ordinaria de la circunferencia, las ecuaciones principales de las tangentes de pendiente m son:
y = m ( x – h ) + k + r
y = m ( x – h ) + k – r
Ejemplo 2: Del ejemplo 1, ecuación de la tangente en el punto P ( 5 , – 1 ) : 4 x – 3 y – 23 = 0

Ejemplo 3: Del ejemplo 1, ecuaciones de las tangentes de m = 0,75: y = 0,75 x + 7,5; y = 0,75 x - 5

4.- LONGITUD DEL SEGMENTO DETERMINADO POR LA TANGENTE TRAZADA DESDE UN PUNTO EXTERIOR
a ) Dada la ecuación ordinaria de la circunferencia, la longitud (d) del segmento que determina la tangente a la circunferencia, trazada desde el punto P ( x 1 , y 1 ) exterior a esta, es:

b ) Dada la ecuación general de la circunferencia la longitud (d) del segmento que determina la tangente a la circunferencia, trazada desde el punto P ( x 1 , y 1 ) exterior a esta, es:

5.- EJE RADICAL
El eje radical de dos circunferencias coplanares y no concéntricas, es el lugar geométrico de todos los puntos de ese plano, desde los cuales las tangentes a ellas, determinan segmentos de igual longitud.
Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias no concéntricas:
x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 = 0 ; (D 1 ¹ D 2 Ú E 1 ¹ E 2)
x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0
la ecuación general de su eje radical es:
( D 1 - D 2 ) x + ( E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 = 0
Ejemplo 4:
- Ecuación general de la primera circunferencia: x 2+y 2 - 2 x- 4 y- 20 = 0
- Ecuación general de la segunda circunferencia: x 2+y 2- 24 x+2 y+129 = 0
Ecuación del eje radical: 22 x – 6 y - 149 = 0
Las distancias del punto P a los puntos de tangencia son

6.- FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS
Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias secantes:
x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 = 0
x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0
La ecuación de la familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de esas dos circunferencias secantes es:
x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 + K( x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2) = 0 ; (K ¹ – 1)
Si K= – 1, se tiene la ecuación de la recta que contiene a la cuerda común:
(D 1 - D 2) x + (E 1 - E 2) y + F 1 - F 2 = 0
Ejemplo 5:
Sean las ecuaciones de las circunferencias secantes:
x 2 + y 2 – 6 x – 4 y – 12 = 0; x 2 + y 2 – 4 y – 24 = 0, la ecuación de la familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de las circunferencias anteriormente citadas:
x 2 + y 2 – 6 x – 4 y – 12 + K( x 2 + y 2 – 4 y – 24 ) = 0 ( K ¹ – 1 )
Ecuación de la recta que contiene a la cuerda común: x = 2